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Tuesday, 29 January 2019

2D circle, , all type question , ssc , up si , railway , goverment exams

प्रश्न-1 एक रिंग की बाह्य त्रिज्या 10 सेंटीमीटर एवं आंतरिक
त्रिज्या 8 सेंटीमीटर है तो रिंग का क्षेत्रफल क्या होगा


रिंग का क्षेत्रफल  = π(r2)2  -  π(r1)2
                     = π((r2)2  -  (r1)2)
                     = π(((r2) +   (r1))((r2) -  (r1 )))
                      
                      = π((10 +  8)(10 -  2 ))
                      = 22 / 7 × 192
                      = 792/7
                      = 113.142 cm2


प्रश्न-2 एक वृत्ताकार मैदान जिसका व्यास 70 समीटर है
उसके चारों ओर 1.4 मीटर चौड़ा बाग है बाग का क्षेत्रफल
वर्ग मीटर में क्या है


बाग का क्षेत्रफल = π(r2)2  -  π(r1)2
                     = π((r2)2  -  (r1)2)
                     = π(((r2) +   (r1))((r2) -  (r1 )))
                      
                      = π((36.4 +  35)(36.4 -  35 ))
                      = 22 / 7 × 71.4 × 1.4
                      = 314.16 m2
प्रश्न-3   एक वृत्ताकार फुलवारी को चारों तरफ समरूप
चौड़ाई का एक रास्ता है यदि बड़े व्रत एवं छोटे वृत्त की
परिधि में 44 मीटर का अंतर हो तब रास्ते की
चौड़ाई ज्ञात करें



बड़े व्रत की परिधि : 2πr1


छोटे व्रत की परिधि : 2πr2


परिधि का अंतर  (44 ) : 2πr1   -    2πr2
                                                 :  2π( r1   -    r2 )
                                     44   :  2   × 22/7  ( r1   -    r2 )


         ( r1   -    r2 )    : 7 (उत्तर)

प्रश्न-4 यदि एक ब्रिज की त्रिज्या 20% बढ़ा दी गई हो
तब उसके चित्र पल में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी


1st  Method :   2 ×X  +  X2 / 100
              : 2 × 20 + 202 / 100
              : 40 + 4
              : 44%


2nd Method :   20%  = ⅕
              मूल त्रिज्या      बड़ी त्रिज्या
                  5   6
नया क्षेत्रफल     π(5)2                    π(6)2


क्षेत्रफल में बड़ा प्रतिशत  = π(52  -  6)2
                                 ______________ x 100
                                                            π(5)2
                                 = 44 %


3rd  Method           : 100    × 120/100  × 120/100
                              : 144  
 क्षेत्रफल में बड़ा प्रतिशत : 144  - 100
                                : 44%

4rth  Method         
             क्षेत्रफल में बड़ा प्रतिशत ( a % )
                = x   +-   y +-    xy/100
                = 20 + 20 + 20×20/100
                = 40 + 4
                = 44 %


                                                       
प्रश्न-5
किसी r अर्धब्यास वाले अर्थवृत्त के भीतर बने सबसे
बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा


     त्रिभुज का क्षेत्रफल  = ½  base × height
                              = ½  r   x  2r
                              = r2


प्रश्न-6  एक  30 सें○मी○  बेस वाले वृत्त में 24 सेंटीमीटर
की जीवा (chord) है वृत्त के केंद्र से जीवा पर खींचे
गए लंब  (perpendicular) की लंबाई है


(Perpendicular) यानी वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाले
गए लंब की लंबाई  :
         __________
    = √ 152   - 122
         ____
    = √ 81         = 9


-------



प्रश्न-7 दो  संकेंद्रीय   वृत्त की परिधि क्रमश :  88 सेंटीमीटर
एवं 66 सेंटीमीटर है | दोनों परिधि के मध्य रास्ता है |  
रास्ते की चौड़ाई ज्ञात करें



रास्ते की चौड़ाई = 2πr1   -    2πr2
      88 - 66  = 2π( r1   -    r2 )
             22 = 2π( r1   -    r2 )
( r1   -    r2 )    =  3.5 cm


प्रश्न-8  एक पहिए का व्यास 1.26 मीटर है | 500 चक्रों     
      में यह कितनी दूरी तय कर लेगा ?


         एक चक्र    → 2πr
                                         2 × 22/7  x 7
                        →  39.6  
          
         500 चक्र →   39.6 × 500
                        → 1980 m


प्रश्न -9 छायांकित  भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए -


             वर्ग की भुजा  = 2r
          वर्ग का क्षेत्रफल  = (2r)2  = 4r2


वृत्त   की एक चौथाई भाग   = ¼ πr2
    का क्षेत्रफल


चारों वृत्त की एक चौथाई     =  4 × ¼ πr2
   भाग का क्षेत्रफल
             
                                  =  πr2


छायांकित भाग का क्षेत्रफल   = 4r2   - πr2
                                                            = r2 (4 - π)  Ans


प्रश्न-10 किसी वृत्त की परिधि में 50% की वृद्धि कर
दी जाती है |  ज्ञात कीजिए कि वृत्त के क्षेत्रफल में
कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी |


 क्षेत्रफल में बड़ा/ घटा प्रतिशत ( a % )
     +- a % =  x   +-   y +-    xy/100
                =   50 +  50  +  (  50)×( 50)/100
                =   100 + 25
                =   125%


       a % = 125 %


प्रश्न -11   किसी गाड़ी के पहिए की त्रिज्या 70 सेंमी है |
ज्ञात कीजिए कि प्रति मिनट पहिए को कितना चक्कर
लगाना होगा कि गति 33 किमी / घंटा की हो |



एक चक्कर  ( दूरी ) → 2πr
                         2 × 22/7  x 70
              →  2 × 220  
              → 440 सें○मी○ →  4.4 m


               
( चाल )      → 33 km/hr
                          33  × 5/18    → 55/6 m/sec


प्रति मिनट पहिए  ( कुल दूरी ) =  55/6  x  60  = 550
                            
                                   कुल दूरी               .
चक्करो की संख्या  =  ----------------
                                 एक चक्र की दूरी
                                       =      550 / 440   चक्कर
                                 
                                      =      125   चक्कर


प्रश्न -12 किसी वृत्त की त्रिज्या में 20% की कमी कर
दी जाती है , ज्ञात कीजिए कि उसके क्षेत्रफल में कितने
प्रतिशत की कमी आएगी

1st  Method :   20%  = ⅕
              मूल त्रिज्या      कमी त्रिज्या
                  5   4
नया क्षेत्रफल     π(5)2                    π(4)2


क्षेत्रफल में बड़ा प्रतिशत  = π(52  -  4)2
                                 ______________ x 100
                                                            π(5)2
                                 = 36 %


        
2nd  Method         
             क्षेत्रफल में बड़ा/ घटा प्रतिशत ( a % )
     +- a % =  x   +-   y +-    xy/100
                = -  20 -  20  +-   ( - 20)×( - 20)/100
                = - 40 + 4
                = - 36%


      a % = 36 %


प्रश्न-13 एक वृत्त की त्रिज्या क्या होगी , जिसका क्षेत्रफल 12 सें○मी○  
तथा 5 सें○मी○ त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल के योग बराबर है
              π(r1)2  +   π(r2)2   =  πR2


              (12)2  +   π(5)2   =  πR2
                  169 = R2
                                  =  13


प्रश्न-14 एक वृत्ताकार मैदान की परिधि 176 मीटर है
मैदान के बाहर एक सड़क है जिसकी बाहरी परिधि 220 मी○  है |
ज्ञात कीजिए कि सड़क बनाने का कुल व्यय कितना होगा
यदि सड़क बनाने का ₹25 प्रति वर्ग मीटर की दर से व्यय  होता है?

          2πr1   =  176
          πr1     =  88
            r1         =  28 m


         2πr2       =   220
           πr2       =   88
            r2          =  35 m


सड़क का क्षेत्रफल =  π(r2)2  -  π(r1)2
                       = π((r2)2  -  (r1)2)
                       = π(((r2) +   (r1))((r2) -  (r1 )))
                      
                      = π((35 +  28)(35 -  28))
                      = 22 / 7 × 63 × 7
                      = 1386


           कुल खर्च = 1386 × 25
                       = 34650


प्रश्न-15 एक घड़ी की मिनट की सुई की लंबाई 12 सें○मी○  है |
वह घड़ी क पृष्ठ के के कितने क्षेत्र पर 9:00 एम और 9:35 के
बीच भ्रमण करती है


मिनट सुई में
                1 m =
                5 m = 30°

[ 9:00   -  9:35 ]   के बीच पूरे मिनट   की डिग्री                
                        = 30 × 7   = 210°


लघु खंड का क्षेत्र○  =  π(r)2  θ/ 360
                             =  π ( r  x  r ) x  θ/ 360
                             = 22 / 7 × 12 × 12 × 210 / 360
                             =  264 सें○मी○

प्रश्न-16 एक लंबी  लोहे की छड़ के किनारे पर एक पहिया
बंधा है  | पहिए से 7 मीटर की दूरी पर दूसरा पहिया बंदा है |
  छड़ के दूसरे सिरे को स्थिर रखकर जब दोनों पहियों को
स्थिर बिंदु  के चारों ओर घुमाया जाता है तो 1 चक्कर लगाने
पर बाहर वाले पहिए द्वारा परिपथ पर चली कुल दूरी ,
दूसरे पहिए द्वारा चली दूरी कि 5/ 4 गुना है  |
ज्ञात कीजिए   कि दोनों पहियों द्वारा 1 चक्कर में चली
दूरियां कितनी है ?


          
      पहले पहिए की परिधि   = 2πr1
      दूसरे पहिए की परिधि   = 2πr2
    
       प्रश्न अनुसार       2πr   = ×  2π(r+7)
                                5r   =  4r +28
                                     =  28


          पहले पहिए द्वारा     
       चली गई दूरी        =    2πr
                                                    =    2 × 22 / 7  × 28
                                                    =    176


दूसरे पहिए द्वारा     
       चली गई दूरी        =    2π(r+7)
                                                    =   2 × 22 / 7  × (28 + 7)
                               =   2 × 22 / 7  × (35)
                                                    =    44 × 5
                               =    220


   दोनों पहियों द्वारा एक
 चक्कर में चली गई दूरी    =    176 + 220
                                = 396 Ans

प्रश्न-17 गाड़ी के पहिए की परिधि 4 2/7  ( 30/7 ) मीटर है
| यह चक्का 4 सेकंड में 7 चक्कर लगाता है |
 गाड़ी की गति क्या है?
            परिधि = 30 /7
            2πr     = 30 /7
     2 x 22 / 7 x r  = 30 /7
          44 x r     = 30
          22x r     = 15
                 r     = 15/22


एक चक्कर  ( दूरी ) → 2πr
                         2 × 22/7  x 15/22
              →   30/7


7 चक्कर  ( दूरी ) → 7 × 30/7
                                      30   
                      


                                             कुल दूरी             30 .
                  चाल =  ---------------- =  -----
                                     समय                       4
        
                           =  30/4 × 18/5
                           =  15/2 × 18/5     = 27 km / h

प्रश्न-18  63 सें○मी○  व्यास वाला पहिया 1000 चक्कर
में कितनी दूरी तय करेगा?
   
                त्रिज्या → 63/2
एक चक्कर  ( दूरी ) → 2πr
                                           2 × 22/7  x 63/2
                         →   198 सें○मी○
                                      → 198 × 1000 = 198000


                        198000/100 मी○
                                         1980 मी○


प्रश्न-19 दो संकेंद्रित वृत्त  का क्षेत्रफल 154 वर्ग सें○मी○
तथा 616 वर्ग सें○मी○ है  | इस प्रकार दोनों वृत्त के
बीच जो घेरा बन गया है , उस घेरा की चौड़ाई क्या है


पहला व्रत क्षेत्रफल
           π(r1)2       = 154
           22/7 × r12   = 154
            r12   = 49
            r1    = 7सें○मी○


दूसरा व्रत क्षेत्रफल
           π(r2)2       = 616
           22/7 × r22   = 616
            r22   = 616  × 7/22
            r2    = 14सें○मी○


  घेरा की चौड़ाई     = r2      -   r1
                      = 14 - 7 =7 cm





प्रश्न-20 कुवे के ऊपर एक घिरनी लगी है जिसकी त्रिज्या
14 सें○मी○ है|  घिरनी के ऊपर एक रस्सी लिपटी है और
रस्सी के एक सिरे पर बाल्टी बंधी है जो कुएं में पानी के
तल पर है| यदि घिरनी से पानी का तल
101.2 मी○  दूर हो तो ज्ञात कीजिए कि रस्सी को खींचकर
घिरनी कितनी बार घूमेगी  ताकि बाल्टी ऊपर आ जाए ?


रस्सी की कुल लंबाई           = 101.2 मी○


घिरनी  द्वारा एक चक्कर      = 2πr
में तय की गई दूरी
                                   = 2 × 22/7 × 14
                                                =  88 सें○मी○
                                                = .88मी○


          कुल चक्कर       = 101.2 / .88  
                                  = 115 बार घूमेगी

प्रश्न-21 कुएं के ऊपर एक घिरनी लगी है जिसका
व्यास 28 सेंटीमीटर है घिरनी पर रस्सी है जिस के एक
किनारे पर बाल्टी बंधी है 80 मीटर प्रति सेकंड की दर से खींची
जा रही है यदि पार्टी 1 मिनट 50 सेकंड में ऊपर आ जाती है
पहुंच जाती है तो ज्ञात कीजिए कि घिरनी कितनी बार
चक्कर लगाएगी



घिरनी  द्वारा एक चक्कर      = 2πr
में तय की गई दूरी
                                   = 2 × 22/7  ×   14
                                   = 88
                                   = .88मी○


                              दूरी = चाल × समय
                                   = 1.2 × 110
                                  = 132.0 मी○


          कुल चक्कर       = 132 / .88  


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