Question.1 एक तार को पिघला कर एक तिहाई त्रिज्या
की एक अन्य तार में बदल दिया जाता है| यह बताइए कि
नय तार की लंबाई पहले वाले तार की लंबाई की
कितनी गुनी होगी ?
की एक अन्य तार में बदल दिया जाता है| यह बताइए कि
नय तार की लंबाई पहले वाले तार की लंबाई की
कितनी गुनी होगी ?
पहले का आयतन = दूसरे का आयतन
π r² h1 = ¹/9 π r² h2
h1 / h2 = ¹/9
h2 = 9 गुनी Ans.
Question.2 यदि दो बेलनो के आधार की त्रिज्याओं का
अनुपात 4:5 तथा उनके आयतनों का अनुपात 2:5 हो
तो उनकी ऊंचाइयों का अनुपात ज्ञात कीजिए ?
अनुपात 4:5 तथा उनके आयतनों का अनुपात 2:5 हो
तो उनकी ऊंचाइयों का अनुपात ज्ञात कीजिए ?
V1 : V2 2 : 5
V1 π r12 h1
_________ = _____________
V2 π r22 h2
2 16 h1
_____ = ____ ____
5 25 h2
1 8 h1
_____ = _____ ____
1 5 h2
5h2 = 8h1
h2 8
_____ = _____
h1 5
h1 : h2 = 5 : 8 Ans.
3. दो बेलनाकार गिलासों के व्यासों का अनुपात 3:1 है|
तथा इनकी ऊंचाइयों का अनुपात 1:3 है`
उनके आयतनों का अनुपात क्या होगा ?
तथा इनकी ऊंचाइयों का अनुपात 1:3 है`
उनके आयतनों का अनुपात क्या होगा ?
d1 : d2 = 3 : 1
r1 : r2 3 : 1
h1 : h2 = 1 : 3
V1 π r12 h1
_________ = _____________
V2 π r22 h2
V1 12 1
_________ = _______ × ______
V2 r22 h2
V1
_________ = ___ ___
V2 1 3
V1
_________ = ___
V2
V1 : V2 3 : 1 Ans.
4. एक बेलन के आधार की त्रिज्या 3.5 सेमी.
तथा लंबाई 8 सेमी. इस बेलन का संपूर्ण
पृष्ठ क्या होगा?
तथा लंबाई 8 सेमी. इस बेलन का संपूर्ण
पृष्ठ क्या होगा?
संपूर्ण पृष्ठ = 2 π r h + 2 π r2
= 2 π r ( h + r )
= 2 × 22 × 3.5 ( 3.5 + 8 )
7
= 2 × 22 × .5 × 11.5
= 2 × 22 × 1 × 11.5
2
= 2 × 11 × 11.5
= 22 × 11.5
= 253 वर्ग सेमी. Ans.
5. एक बेलनाकार स्तंभ का वक्र पृष्ठ 264 वर्ग मीटर है
और इसका आयतन 924 घन मीटर है इसके व्यास और
ऊंचाई का अनुपात क्या है
और इसका आयतन 924 घन मीटर है इसके व्यास और
ऊंचाई का अनुपात क्या है
2 π r h = 264
π r h = 132
22 × r h = 132
7
r h = 42 -----------(1)
π r2 h = 924
22 × r2 h = 924
7
r2 h = 7 × 42 ------------(2)
समीकरण (1) से r h का मान रखने पर
r2 h = 7 × 42
(r h) × r = 7 × 42
42 × r = 7 × 42
r = 7
समीकरण (1) से
r h = 42
7 h = 72
h = 7
d : h = 2 r : h
= 2 × 7 : 6
= 14 : 6
= 7 : 3 Ans.
6. एक बेलन के आधार की परिधि 20π सेमी. है| तथा लंबाई
15 सेमी. है| तो उसका संपूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल वर्ग
सेमी. में क्या होगा ?
15 सेमी. है| तो उसका संपूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल वर्ग
सेमी. में क्या होगा ?
2 π r = 20 π , h = 15
r = 20
संपूर्ण पृष्ठ = 2 π r h + 2 π r2
= 2 π r ( h + r )
= 2 × 22 × 10 × ( 10+15 )
7
= 2 × 22 × 10 × 25
7
= 500 π Ans.
7. एक बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या 40 सेमी. है| तथा वह
पानी से आधा भरा हुआ है| उसमें 20 सेमी. व्यास के दो
गोले पूर्णत: डुबो दिया जाता है| बर्तन में पानी का स्तर
कितना सेमी. से ऊंचा हो जाएगा ?
पानी से आधा भरा हुआ है| उसमें 20 सेमी. व्यास के दो
गोले पूर्णत: डुबो दिया जाता है| बर्तन में पानी का स्तर
कितना सेमी. से ऊंचा हो जाएगा ?
दोनों गोलों का आयतन = उठे हुए पानी का आयतन
4
2 _____ π r³ = π r² h
3
8 π × 10 × 10 × 10 = π r² h
3
8 × 1000 = 40 × 40 × h
3
h = 5 Ans.
3
8. दो बेलनाकार गिलासों के अर्धव्यासों का अनुपात 3:1
तथा इसकी ऊंचाई का अनुपात 1:3 है| उनके आयतनों
का अनुपात क्या होगा ?
तथा इसकी ऊंचाई का अनुपात 1:3 है| उनके आयतनों
का अनुपात क्या होगा ?
r1 : r2 = 3 : 1
h1 : h2 = 1 : 3
V1 π r12 h1
_________ = _____________
V2 π r22 h2
V1 9 1
_________ = ___ ____
V2 1 3
V1 : V2 = 3 : 1
9. पानी के कुछ भरे एक बेलनाकार बर्तन में 6 सेमी.
व्यास वाला एक गोला डाला जाता है| यदि बेलनाकार
बर्तन का व्यास 12 सेमी. हो तो पानी की सतह
कितनी उठेगी?
व्यास वाला एक गोला डाला जाता है| यदि बेलनाकार
बर्तन का व्यास 12 सेमी. हो तो पानी की सतह
कितनी उठेगी?
डूबे हुए गोले का आयतन = उठा हुआ पानी का आयतन
4
_____ π r1³ = π r2² h
3
4
_____ (3)³ = 6 × 6 × h
3
4
_____ 3 × 3 × 3 = 6 × 6 × h
3
h = 1 सेमी. Ans.
10. 6 सेमी. आधार त्रिज्या वाले किसी लंब वृत्तीय बेलन
का वक्रपृष्ठ 12 π² सेमी.² है| इस बेलन की
ऊंचाई (सेमी. में) है?
का वक्रपृष्ठ 12 π² सेमी.² है| इस बेलन की
ऊंचाई (सेमी. में) है?
वक्रपृष्ठ = 12 π²
2 π r h = 12 π²
6 × h = 6 π
h = π Ans.
11. 16 सेमी. चौड़ाई वाले एक लंब वृत्तीय बेलन को
एक 16 सेमी. × 22 सेमी. साइज की आयताकार टिन
शीटी द्वारा ढका गया है| बेलन का आयतन होगा ?
एक 16 सेमी. × 22 सेमी. साइज की आयताकार टिन
शीटी द्वारा ढका गया है| बेलन का आयतन होगा ?
2 π r h = 22 × 16
16 π h = 22 × 16
22 × h = 22
7
h = 7
बेलन का आयतन = π r² h
= 22 × 4 × 4 × 7
7
= 352 Ans.
12. एक बेलनाकार स्तंभ का वक्रपृष्ठ 880 वर्ग मीटर
तथा इसका आयतन 6160 घन मीटर है| इसकी
ऊंचाई एवं त्रिज्या का अनुपात होगा ?
तथा इसका आयतन 6160 घन मीटर है| इसकी
ऊंचाई एवं त्रिज्या का अनुपात होगा ?
2 π r h = 880
π r h = 440
22 × r h = 440
7
r h = 20 × 7 --------(1)
π r² h = 6160
22 × r² h = 6160
7
r² h = 280 × 7 -------(2)
समीकरण 1 व 2 से
(r h × r) = 280 × 7
(20 × 7) × r = 280 × 7
r = 14
समीकरण 1 से
r h = 20 × 7
14 × h = 20 × 7
h = 10
h 10 5
______ = ________ = _____
r 14 7
h : r = 5 : 7 Ans.
13. दो बेलनों की आधार त्रिज्याएँ 2 : 3 के अनुपात में हैं|
तथा इनकी ऊंचाइयों का अनुपात 5 : 3 है|
इनके आयतन का अनुपात कितना है ?
तथा इनकी ऊंचाइयों का अनुपात 5 : 3 है|
इनके आयतन का अनुपात कितना है ?
r1 : r2 = 2 : 3
h1 : h2 = 5 : 3
V1 4 5
_________ = ____ × ___
V2 9 3
V1 : V2 = 20 : 27 Ans.
14. एक बेलन के आधार का व्यास 42 सेमी. है| तथा इसके
वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल 1320 वर्ग सेमी है|
इस बेलन की ऊंचाई कितनी है ?
वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल 1320 वर्ग सेमी है|
इस बेलन की ऊंचाई कितनी है ?
2 π r h = 1320
22 × 40 × h = 6160
7
h = 10
15. समान अर्धव्यास वाले एक लंब वृत्तीय बेलन
तथा एक गोले के आयतन बराबर हैं| गोले के
व्यास का बेलन की ऊंचाई से अनुपात कितना है ?
तथा एक गोले के आयतन बराबर हैं| गोले के
व्यास का बेलन की ऊंचाई से अनुपात कितना है ?
π r² h = ⁴/3 π r³
h = ⁴/3 r
d : h = 2 r : ⁴/3 r
d : h = 1 : ⅔
d : h = 3 : 2 Ans.
16. एक 4 मीटर व्यास वाली 56 मीटर लंबी बेलनाकार
सुरंग को खोदने से प्राप्त हुई मिट्टी से एक 48 मीटर लंबी,
16.5 मीटर चौड़ी तथा 4 मीटर गहरी खाई का
कितना भाग भरा जा सकता है ?
सुरंग को खोदने से प्राप्त हुई मिट्टी से एक 48 मीटर लंबी,
16.5 मीटर चौड़ी तथा 4 मीटर गहरी खाई का
कितना भाग भरा जा सकता है ?
π r² h = 48 × 16.5 × h
π × (2)2 × 56 = 48 × 16.5 × h
π × 4 × 56 = 792 × h
22 × 4 × 56 = 792 × h
7
32 = 36 h
16 = 18 h
h = 8/9 (भाग) Ans.
17. एक बेलनाकार बर्तन का व्यास 28 सेमी. तथा
ऊंचाई 80 सेमी. है| ज्ञात कीजिए कि इसमें
कितने लीटर पानी आएगा ?
ऊंचाई 80 सेमी. है| ज्ञात कीजिए कि इसमें
कितने लीटर पानी आएगा ?
बेलन का आयतन = π r² h
= 22 × 14 × 14 × 80
7
= 44 × 14 × 80
= 49280 (1सेमी = 1/1000 लीटर पानी होता)
1000
= 49.28 लीटर Ans.
18. एक आयताकार कागज की लंबाई तथा चौड़ाई
क्रमश: 35 सेमी. तथा 14 सेमी. है| कागज की एक
लंबाई वाले किनारे को स्थिर करके दूसरे किनारे को
स्थिर किनारे के चारों ओर घुमा दिया जाता है|
इस प्रकार बने बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए ?
क्रमश: 35 सेमी. तथा 14 सेमी. है| कागज की एक
लंबाई वाले किनारे को स्थिर करके दूसरे किनारे को
स्थिर किनारे के चारों ओर घुमा दिया जाता है|
इस प्रकार बने बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए ?
आयतन = π r² h
= 22 × 14 × 14 × 35
7
= 22 × 196 × 5
= 110 × 196
= 21560 घन सेमी Ans.
19. एक 24 सेमी. त्रिज्या वाले बेलनाकार बर्तन
में पानी भरा है| 4 सेमी. त्रिज्या वाली इसमें 27 गोलियां
डाली जाती हैं ज्ञात कीजिए कि बर्तन में पानी का स्तर
कितना उठ जाएगा ?
में पानी भरा है| 4 सेमी. त्रिज्या वाली इसमें 27 गोलियां
डाली जाती हैं ज्ञात कीजिए कि बर्तन में पानी का स्तर
कितना उठ जाएगा ?
27 गोलियों का आयतन = उठे हुए पानी का आयतन
4
27 _____ π r³ = π r² h
3
4
27 _____ π × 4 × 4 × 4 = π × 24 × 24 × h
3
h = 4 Ans.
20. 24 सेमी. व्यास वाले एक बेलनाकार बर्तन में कुछ
पानी है| यदि 6 सेमी. त्रिज्या वाले दो गोले पानी में तब
तक डुबोए जाए जब तक वे पूरी तरह से डूब ना जाए तो
बर्तन में पानी का स्तर कितना सेमी में बढ़ जाएगा ?
पानी है| यदि 6 सेमी. त्रिज्या वाले दो गोले पानी में तब
तक डुबोए जाए जब तक वे पूरी तरह से डूब ना जाए तो
बर्तन में पानी का स्तर कितना सेमी में बढ़ जाएगा ?
गोलों का आयतन = उठे हुए पानी का आयतन
4
2 _____ π r³ = π r² h
3
4
2 _____ π × 6 × 6 × 6 = π × 12 × 12 × h
3
h = 4 Ans.
Advance maths tricky
ReplyDelete